以下是智学网为大伙收拾的关于《2025高中三年级数学下册期中考试试题（理科）》，供大伙学习参考！

2025高中三年级数学下册期中考试试题

本试题分为选择题和非选择题两部分

第一部分

1、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目需要的一项.

复数 在复平面内对应的点坐落于

第一象限 第二象限 第三象限 第四象限

已知集合 ，集合 ，则

已知平面向量 ， 满足 ， ，则 与 的夹角为

如图，设地区 ，向地区 内

随机投一点，且投入到地区内任一点都是等可能的，则点落

入到阴影地区 的概率为

在 中， ， ，则“ ”

是“ ”的

充分非必要条件 必要不充分条件

充要条件 既不充分也非必要条件

实行如图所示的程序框图,输出的S值为

已知函数 .下列命题：

①函数 的图象关于原点对称; ②函数 是周期函数;

③当 时,函数 取值;④函数 的图象与函数 的图象没公共点，其中正确命题的序号是

①③ ②③①④ ②④

直线 与圆 交于不一样的两点 ， ，且 ，其中 是坐标原点，则实数 的取值范围是

第二部分

2、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答卷卡上.

在各项均为正数的等比数列 中， ， ，则该数列的前4项和

为 .

在极坐标系中， 为曲线 上的点， 为曲线 上的点，则线段

长度的最小值是 .

某三棱锥的三视图如图所示，则这个三棱锥的体积

为 ;表面积为 .

双曲线 的一个焦点到其渐近线的距离是 ，则 ;

此双曲线的离心率为 .

有标号分别为1,2,3的红色卡片3张，标号分别为1,2,3的

蓝色卡片3张，现将全部的6张卡片放在2行3列的格内

.若颜色相同的卡片在同一行，则不一样的放法种数

为 .

如图，在四棱锥 中， 底面 .底面 为梯形， ， ∥ , ， .若点 是线段 上的动点，则满足 的点 的个数是 .

3、解答卷：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

已知函数 ， .

求 的值及函数 的最小正周期;

求函数 在 上的单调减区间.

某单位从一所学校招收某类特殊人才.对 位已经选拔入围的学生进行运动协调能力和逻辑思维能力的测试，其测试结果如下表：

一般 好 出色

一般

好

出色

比如，表中运动协调能力好且逻辑思维能力普通的学生有 人.因为部分数据丢失，只了解从这 位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到运动协调能力或逻辑思维能力出色的学生的概率为 .

求 ， 的值;

从参加测试的 位学生中任意抽取 位，求其中至少有一位运动协调能力或逻辑思

维能力出色的学生的概率;

从参加测试的 位学生中任意抽取 位，设运动协调能力或逻辑思维能力出色的学

生人数为 ，求随机变量 的分布列及其数学期望 .

如图，四棱锥 的底面为正方形，侧面 底面 . 为等腰直角三角形，且 . ， 分别为底边 和侧棱 的中点.

求证： ∥平面 ;

求证： 平面 ;

求二面角 的余弦值.

已知函数 ， .

求函数 的单调区间;

若函数 在区间 的最小值为 ，求 的值.

已知椭圆 经过点 ，离心率为 .求椭圆 的方程;

直线 与椭圆 交于 两点，点 是椭圆 的右顶点.直线 与直线 分别与 轴交于点 ，试问以线段 为直径的圆是不是过 轴上的定点?如果是，求出定点坐标;若不是，说明理由.

从 中这 个数中取 个数组成递增等差数列，所大概的递增等差数列的个数记为 .

当 时，写出所大概的递增等差数列及 的值;

求 ;

求证： .

北京朝阳区高三首次综合训练

数学答案 2025.3

1、选择题

题号 1 2 3 4 5 6 7 8

答案 B A B A B D C D

2、填空题

题号 9 10 11 12 13 14

答案

2

2

3、解答卷

15.

解：

.

.

显然，函数 的最小正周期为 . …………… 8分

令 得

， .

又由于 ，所以 .

函数 在 上的单调减区间为 . …………… 13分

16.

解：设事件 ：从 位学生中随机抽取一位，抽到运动协调能力或逻辑思维能力出色的学生.

由题意可知，运动协调能力或逻辑思维能力出色的学生共有 人.

则 .

解得 .

所以 . …………… 4分

设事件 ：从 人中任意抽取 人，至少有一位运动协调能力或逻辑思维能力出色的学生.

由题意可知，至少有一项能力测试出色的学生共有 人.

则 . …………… 7分

的可能取值为 ， ， .

位学生中运动协调能力或逻辑思维能力出色的学生人数为 人.

所以 ，

，

.

所以 的分布列为

0 1 2

所以， . …………… 13分

17.

证明：取 的中点 ，连接 ， .

由于 ， 分别是 ， 的中点，

所以 是△ 的中位线.

所以 ∥ ，且 .

又由于 是 的中点，且底面 为正方形，

所以 ，且 ∥ .

所以 ∥ ，且 .

所以四边形 是平行四边形.

所以 ∥ .

又 平面 ， 平面 ，

所以 平面 . ……………4分

证明： 由于平面 平面 ，

，且平面 平面 ，

所以 平面 .

所以 ， .

又由于 为正方形，所以 ，

所以 两两垂直.

以点 为原点，分别以 为 轴，

打造空间直角坐标系.

由题意易知 ，

设 ，则

， ， ， ， , , .

由于 ， ， ，

且 ，

所以 ， .

又由于 ， 相交于 ，所以 平面 . …………… 9分

易得 ， .

设平面 的法向量为 ，则

所以 即

令 ，则 .

由可知平面 的法向量是 ，

所以 .

由图可知，二面角 的大小为锐角，

所以二面角 的余弦值为 . ……………14分

18.

解：函数 的概念域是 ， .

当 时， ，故函数 在 上单调递减.

当 时， 恒成立，所以函数 在 上单调递减.

当 时，令 ，又由于 ，解得 .

①当 时， ，所以函数 在 单调递减.

②当 时， ，所以函数 在 单调递增.

综上所述，当 时，函数 的单调减区间是 ，

当 时，函数 的单调减区间是 ，单调增区间为 .…7分

当 时，由可知， 在 上单调递减，

所以 的最小值为 ，解得 ，舍去.

当 时，由可知，

①当 ，即 时，函数 在 上单调递增，

所以函数 的最小值为 ，解得 .

②当 ，即 时，函数 在 上单调递减，

在 上单调递增，所以函数 的最小值为 ，

解得 ，舍去.

③当 ，即 时，函数 在 上单调递减，

所以函数 的最小值为 ，得 ，舍去.

综上所述， . ……………13分

19.

解：由题意得 ，解得 ， .

所以椭圆 的方程是 . …………… 4分

以线段 为直径的圆过 轴上的定点.

由 得 .

设 ，则有 ， .

又由于点 是椭圆 的右顶点，所以点 .

由题意可知直线 的方程为 ，故点 .直线 的方程为 ，故点 .

若以线段 为直径的圆过 轴上的定点 ，则等价于 恒成立.

又由于 ， ，

所以 恒成立.

又由于

，

所以 .

解得 .

故以线段 为直径的圆过 轴上的定点 . …………… 14分

20.

解：符合需要的递增等差数列为1，2，3;2，3，4;3，4，5;1，3，5，共4个.

所以 . …………… 3分

设满足条件的一个等差数列首项为 ，公差为 ， .

， ， 的可能取值为 .

对于给定的 ， ， 当 分别取 时，可得递增等差数列 个.

所以当 取 时，可得符合需要的等差数列的个数为：

.…………… 8分

设等差数列首项为 ，公差为 ，

记 的整数部分是 ，则 ，即 .

的可能取值为 ，

对于给定的 ， ，当 分别取 时，可得递增等差数列 个.

所以当 取 时，得符合需要的等差数列的个数

易证 .

又由于 ， ，

所以 .

所以

.

即 . …………… 13分