湖南师范大学硕士研究生入学考试自命题科目考试概要

考试考哪几科代码：[958]考试考哪几科名字：数学基础综合

1、考试内容及要素

（一）数学剖析部分

1、函数、极限、连续

考试内容

函数的定义及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的打造

数列极限与函数极限的概念及其性质函数的左极限和右极限无穷小量和无穷很多的定义及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个要紧极限

函数连续的定义函数间断点的种类初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质

考试要素

（1）理解函数的定义，学会函数的表示法，会打造应用问题的函数关系.

（2）知道函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性．

（3）理解复合函数及分段函数的定义，知道反函数及隐函数的定义．

（4）学会基本初等函数的性质及其图形，知道初等函数的定义.

（5）理解极限的定义，理解函数左极限与右极限的定义与函数极限存在与左、右极限之间的关系．

（6）学会极限的性质及四则运算法则.

（7）学会极限存在的两个准则，并会借助它们求极限，学会借助两个要紧极限求极限的办法．

（8）理解无穷小量、无穷很多的定义，学会无穷小量的比较办法，会用等价无穷小量求极限．

（9）理解函数连续性的定义（含左连续与右连续），会辨别函数间断点的种类．

（10）知道连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这类性质．

2、一元函数微分学

考试内容

导数和微分的定义导数的几何意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线和法线导数和微分的四则运算 基本初等函数的导数复合函数、反函数、隐函数与参数方程所确定的函数的微分法高阶导数 一阶微分形式的不变性微分中值定理洛必达（L’Hospital）法则函数单调性的辨别 函数的极值函数图形的凹凸性、拐点及渐近线函数图形的描绘函数的最大值与最小值

考试要素

（1）理解导数和微分的定义，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，理解函数的可导性与连续性之间的关系．

（2）学会导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，学会基本初等函数的导数公式．知道微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分．

（3）知道高阶导数的定义，会求简单函数的高阶导数．

（4）会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数与反函数的导数.

（5）理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理和泰勒定理，知道并会用柯西中值定理．

（6）学会用洛必达法则求未定式极限的办法．

（7）理解函数的极值定义，学会用导数判断函数的单调性和求函数极值的办法，学会函数最大值和最小值的求法及其应用．

（8）会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点与水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形．

3、一元函数积分学

考试内容

原函数和不定积分的定义不定积分的基本性质基本积分公式定积分的定义和基本性质定积分中值定理积分上限的函数及其导数牛顿-莱布尼茨（Newton-Leibniz）公式不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分反常（广义）积分定积分的应用

考试要素

（1）理解原函数的定义，理解不定积分和定积分的定义．

（2）学会不定积分的基本公式，学会不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，学会换元积分法与分部积分法．

（3）会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分．

（4）理解积分上限的函数，会求它的导数，学会牛顿-莱布尼茨公式．

（5）知道反常积分的定义，会计算反常积分．

（6）学会用定积分表达和计算平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积.

4、多元函数微分学

考试内容

多元函数的定义二元函数的几何意义二元函数的极限与连续的定义 有界闭地区上多元连续函数的性质多元函数的偏导数和全微分全微分存在的必要条件和充分条件 多元复合函数、隐函数的求导法 二阶偏导数方向导数和梯度空间曲线的切线和法平面曲面的切平面和法线二元函数的二阶泰勒公式多元函数的极值和条件极值多元函数的最大值、最小值及其简单应用

考试要素

（1）理解多元函数的定义，理解二元函数的几何意义.

（2）知道二元函数的极限与连续的定义与有界闭地区上连续函数的性质.

（3）理解多元函数偏导数和全微分的定义，会求全微分，知道全微分存在的必要条件和充分条件，知道全微分形式的不变性.

（4）理解方向导数与梯度的定义，并学会其计算办法.

（5）学会多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法.

（6）知道隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数.

（7）知道空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的定义，会求它们的方程.

（8）知道二元函数的二阶泰勒公式.

（9）理解多元函数极值和条件极值的定义，学会多元函数极值存在的必要条件，知道二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题.

5、多元函数积分学

考试内容

二重积分的定义、性质、计算和应用

考试要素

（1）理解二重积分的定义，知道二重积分的性质，知道二重积分的中值定理.

（2）学会二重积分的计算办法（直角坐标、极坐标）.

6、无穷级数

考试内容

常数项级数的收敛与发散的定义收敛级数的和的定义级数的基本性质与收敛的必要条件几何级数与p级数及其收敛性正项级数收敛性的辨别法交错级数与莱布尼茨定理任意项级数的绝对收敛与条件收敛幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）和收敛域幂级数的和函数幂级数在其收敛区间内的基本性质 简单幂级数的和函数的求法初等函数的幂级数展开式

考试要素

（1）理解常数项级数收敛、发散与收敛级数的和的定义，学会级数的基本性质及收敛的必要条件.

（2）学会几何级数与

级数的收敛与发散的条件.

（3）学会正项级数收敛性的比较辨别法和比值辨别法，会用根值辨别法和柯西（Caucy）积分辨别法.

（4）学会交错级数的莱布尼茨辨别法.

（5）知道任意项级数绝对收敛与条件收敛的定义与绝对收敛与收敛的关系.

（6）理解幂级数收敛半径的定义、并学会幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法.

（7）知道幂级数在其收敛区间内的基本性质（和函数的连续性、逐项求导和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和.

（8）知道函数展开为泰勒级数的充分必要条件.

（9）学会ex，sinx，c，及的麦克劳林（Maclaurin）展开式，会用它们将一些简单函数间接展开为幂级数.

（二）高等代数

1、多项式

考试内容

数域，一元多项式，整除的定义，最大公因式，因式分解定理，重因式，多项式函数，复系数与实系数多项式的因式分解，有理系数多项式。

考试要素

（1）学会数域的概念，并会判断一个代数系统是不是是数域。

（2）理解数域P上一元多项式的概念，多项式相乘，次数，一元多项式环等定义。学会多项式的运算及运算律。

（3）理解整除的概念，熟练学会带余除法及整除的性质。

（4）理解和学会两个（或若干个）多项式的最大公因式，互素等定义及性质。可以用辗转相除法求两个多项式的最大公因式。

（5）学会不可约多项式的概念及性质。知道因式分解定理。

（6）学会k重因式的概念。

（7）学会多项式函数的定义，余数定理，多项式的根及性质。理解代数基本定理。熟练学会复（实）系数多项式分解定理及标准分解式。

（8）学会本原多项式的概念及性质。 学会整系数多项式的有理根的计算。

2、行列式

考试内容

排列，n级行列式的概念，n级行列式的性质，n级行列式的展开，行列式的计算，克拉默法则，行列式的乘法规则。

考试要素

（1）学会排列、逆序、逆序数、奇偶排列的概念。学会排列的奇偶性与对换的关系。

（2）理解n级行列式的概念，并可以用概念计算一些特殊行列式。

（3）学会行列式的基本性质。

（4）理解矩阵、矩阵的行列式、矩阵的初等变换等定义，能借助行列式性质计算一些简单行列式。

（5）理解元素的余子式、代数余子式等定义。熟练学会行列式按一行（列）展开的公式。学会计算行列式的基本办法与方法。

（6）熟练学会克拉默法则，

3、线性方程组

考试内容

消元法，n维向量空间，线性有关性，矩阵的秩，线性方程组有解辨别定理，线性方程组解的结构。

考试要素

（1）学会一般线性方程组，方程组的解，增广矩阵，线性方程组的初等变换等定义及性质。学会阶梯形方程组的特点及用途。会求线性方程组的一般解。

（2）学会n维向量及两个n维向量相等的概念。熟练学会向量的运算规律和性质。

（3）理解线性组合、线性有关、线性无关的概念及性质。学会两个向量组等价的概念及等价性质定理。理解向量组的很大无关组、秩的概念，并会求向量组的一个很大无关组。

（4）学会矩阵的行秩、列秩，与矩阵的秩的概念。学会矩阵的秩与其子式的关系。

（5）学会线性方程组的有解辨别定理，学会线性方程组的公式解。

（6）理解齐次线性方程组的基础解系。学会基础解系的求法、线性方程组的结构定理。并对有解的一般线性方程组，会求其全部解。

4、矩阵

考试内容

矩阵的定义，矩阵的运算，矩阵乘积的行列式与秩，矩阵的逆，矩阵的分块，初等矩阵，分块乘法的初等变换及应用。

考试要素

（1）学会矩阵的的加法、数乘、乘法、转置等运算及其计算规律。

（2）学会矩阵乘积的行列式定理，矩阵乘积的秩与它的因子的秩的关系。

（3）学会可逆矩阵、逆矩阵、随着矩阵等定义，学会一个n阶方阵可逆的充要条件和用公式法求一个矩阵的逆矩阵。

（4）理解分块矩阵的意义，学会分块矩阵的加法、乘法的运算及性质。

（5）学会初等矩阵、初等变换等定义及它们之间的关系，学会一个矩阵的等价标准形和矩阵可逆的充要条件；会用初等变换的办法求一个方阵的逆矩阵。

（6）理解分块乘法的初等变换和广义初等矩阵的关系，会求分块矩阵的逆。

5、二次型

考试内容

二次型的矩阵表示，标准型，唯一性，正定（半正定）二次型。

考试要素

（1）正确理解二次形和非退化线性替换的定义，学会二次型的矩阵表示及二次型与对称矩阵的一一对应关系，学会矩阵的合同定义及性质。

（2）理解二次型的规范形，学会化二次型为标准形的两种基本办法。

（3）理解复数域和实数域上二次型的规范性的唯一性，知道符号差、惯性指数等定义，学会惯性定理的证明思想。

（4）理解正定、半正定、负定二次型及正定、半正定矩阵等定义，熟练学会正定二次型（半正定二次型）的若干等价条件。

6、线性空间

考试内容

集合、映射，线性空间的概念与简单性质，维数、基与坐标，基变换与坐标变换，线性子空间，子空间的交与和，子空间的直和，线性空间的同构。

考试要素

（1）学会线性空间的概念及性质，会判断一个代数系统是不是为线性空间。

（2）理解线性组合、线性表示、线性有关、线性无关等定义，正确理解和学会n维线性空间的定义及性质。

（3）基变换与坐标变换的关系。

（4）学会基之间的过渡矩阵及其性质。

（5）理解线性子空间的概念及辨别定理，学会线性方程组的解空间的定义和性质，学会向量组生成子空间的概念及等价条件。

（6）学会子空间的交与和的概念及性质，学会维数公式并能熟练运用。

（7）理解子空间的直和的定义，与判断直和的若干充要条件。

7、线性变换

考试内容

线性变换的概念，线性变换的运算，线性变换的矩阵，特点值与特点向量，对角矩阵，线性变换的值域与核，不变子空间，若尔当标准形介绍。

考试要素

（1）学会线性变换的概念及性质。

（2）学会线性变换的运算及运算规律，理解线性变换的多项式。

（3）学会线性变换与矩阵的联系，学会矩阵一样的定义和线性变换在不同基下的矩阵相似等性质。

（4）理解矩阵的特点值、特点向量、特点多项式的定义和性质，会求一个矩阵的特点值和特点向量，学会相似矩阵与它们的特点多项式的关系及哈密顿-凯莱定理。

（5）学会n维线性空间中一个线性变换在某一组基下的矩阵为对角矩阵的充要条件。

（6）学会线性变换的值域、核、秩、零度等定义，学会线性变换的值域与它对应的矩阵的秩的关系及线性变换的秩和零度间的关系。

（7）学会不变子空间的概念，会断定一个子空间是不是是A-子空间，理解不变子空间与线性变换矩阵化简之间的关系，学会将空间V按特点值分解成不变子空间和直和表达式。

（8）知道若尔当标准形及其有关性质。

8、欧几里德空间

考试内容

概念与基本性质，标准正交基，同构，正交变换，子空间，实对称矩阵的相似标准形，向量到子空间的距离。

考试要素

（1）理解欧氏空间的概念及性质，理解内积的本质，学会向量的长度，两个向量的夹角、单位向量、正交及度量矩阵等定义和基本性质，学会各种定义之间的联系和不同。

（2）理解正交向量组、标准正交基的定义，学会施密特正交化过程，并能把一组线性无关的向量化为单位正交的向量。

（3）理解正交变换的定义及几个等价关系，学会正交变换与向量的长度，标准正交基，正交矩阵间的关系。

（4）理解两个子空间正交的定义，学会正交与直和的关系，及有限维欧氏空间中的每个子空间都有唯一的正交补的性质。

（5）理解并学会任一个实对称矩阵均可正交相似于一个对角阵，并学会求正交阵的办法。可以用正交变换化实二次型为标准型。