中南民族大学 2021 年硕士研究生入学考试自命题科目考试概要

科目名字：高等代数 科目代码：858

适用学科（数学）专业（应用数学、运筹学与控制论）

1、考试性质

《高等代数》考试是为中南民族大学数学与统计学学院招收数学学科（含应用数学、运筹学与控制论两个专业）的硕士研究生而设置的具备选拔性质的入学考试考哪几科，其目的是科学、公平、有效地测试考生学会《高等代数》中入门知识、基本理论、基本办法的水平和剖析问题、解决问题的能力。评价标准设置为数学学科出色本科毕业生能达到及格及及格以上水平，有益于中南民族大学数学与统计学学院择优选拔，确保硕士研究生的招生水平。

2、考查目的

需要考生系统学会《高等代数》中的入门知识、基本理论和基本办法，可以运用所学的入门知识、基本理论和基本办法剖析、判断和解决有关理论问题和实质问题。

3、考试形式和试题结构

1. 本试题满分为（ 150 ）分，考试时间为（ 3 ）小时

2. 考试方法为闭卷、笔试。

3. 试题考查的题型及其比率

计算题 （约 60%）、证明题（约 30%）、叙述题（主要叙述一些基本定义及其有关的性质、定义间的联系与不同，约 10%）

4、考查内容

第一部分：多项式理论

一 、考试内容：

1. 数域, 一元多项式的概念和基本运算；

2. 多项式的带余除法，多项式整除性理论；

3. 多项式的最大公因式，辗转相除法；

4. 不可约多项式，多项式的唯一因式分解定理，多项式的重因式；

5. 多项式函数与多项式的根；

6. 代数基本定理，复数域和实数域上多项式；

7. 有理数域上的多项式，Eisenstein 辨别法。

2、报考条件：

1. 理解数域、多项式有关的基本定义；

2. 学会多项式有关的运算及其性质；

3. 学会带余除法、辗转相除法、Eisenstein 辨别法；

4. 学会不同数域中多项式的性质；

5. 学会多项式互素的性质、多项式的重因式与多项式的根的关系及其应用。

第二部分：行列式

一 、考试内容：

1. n 阶行列式的概念；

2. n 阶行列式的性质和计算；

3. 余子式、代数余子式；

4. 克莱姆法则。

2、报考条件：

1. 理解n 阶行列式、余子式、代数余子式有关的定义；

2. 学会多n 阶行列式的性质并能借助这类性质计算行列式；

3. 学会克莱姆法则的应用。

第三部分：线性方程组

一 、考试内容：

1. 线性方程组求解的消元法；

2. 矩阵的秩，用矩阵的初等变换求秩；

3. 线性方程组有解的辨别法。

2、报考条件：

1. 学会矩阵的秩及其计算；

2. 学会线性方程组的有解辨别并求解。

第四部分：矩阵

一 、考试内容：

1. 矩阵的运算；

2. 初等变换，可逆矩阵，矩阵的等价关系，矩阵可逆的断定条件及性质；

3. 矩阵乘积的行列式与秩；

4. 分块矩阵。

2、报考条件：

1. 学会矩阵的运算；

2. 学会矩阵逆的计算；

3. 学会矩阵的秩与矩阵的行列式的关系；

4. 学会矩阵方程的求解。

第五部分：二次型

一 、考试内容：

1. 二次型与对称矩阵，矩阵的合同关系；

2. 实数域、复数域上的二次型；

3. 正定二次型与正定矩阵，实对称矩阵正定的断定条件。

2、报考条件：

1. 学会二次型与对称矩阵的对应关系；

2. 学会二次型的化简；

3. 学会二次型正定性的断定。

第六部分：向量空间

一 、考试内容：

1. 向量空间的概念和例子；

2. 向量组的线性有关和线性无关性，向量组的很大无关组；

3. 向量空间的基与维数，过渡矩阵及坐标变换公式；

4. 子空间、子空间的交与和；

5. 向量空间的同构及其性质；

6. 齐次线性方程组的解空间与基础解系。

2、报考条件：

1. 理解向量空间的概念及其基本性质；

2. 学会向量组的线性有关性的断定；

3. 学会向量空间的基与维数，过渡矩阵及坐标等的求解办法；

4. 学会子空间的交与和、不子空间、向量空间同构的性质。

第七部分：线性变换

一 、考试内容：

1. 线性映射和线性变换的概念及例子；

2. 线性变换的运算、线性变换的矩阵、矩阵的相似；

3. 线性变换的值域与核、不变子空间及其性质；

4. 方阵的特点值和特点向量；

5. 矩阵的对角化；

6. Cayley-Hamilton 定理、最小多项式。

2、报考条件：

1. 理解线性变换的概念及其基本性质；

2. 学会线性变换的运算及其性质，线性变换的矩阵的计算办法；

3. 学会线性变换的值域与核的求解办法；

4. 学会方阵的特点值和特点向量的计算及其在矩阵的对角化中的应用；

5. Cayley-Hamilton 定理在矩阵多项式化简、最小多项式等方面的应用。

第八部分：欧氏空间

一 、考试内容：

1. 向量的内积和欧氏空间的概念、柯西-布涅柯夫斯基不等式；

2. 正交基、标准正交基、Schmidt 正交化办法；

3. 正交变换与正交矩阵；

4. 实对称矩阵及其有关性质；

5. 向量到子空间的距离。

2、报考条件：

1. 理解向量的内积和欧氏空间的概念及其基本性质；

2. 学会 Schmidt 正交化办法；

3. 学会正交变换、实对称矩阵、正交矩阵及其有关性质；

4. 学会柯西-布涅柯夫斯基不等式的不同表现形式。

5、参考书目

1.北京大学数学系编：《高等代数》，高等教育出版社，2013 年 8月，第四版。

2. 西北工业大学出版社：《高等代数考研教材》， 2009 年 7 月。

6、特殊说明

本自命题考试考哪几科不需要计算器。